「youtube　埋め込み　100%」とかでググるといろいろと記事がでます。
「YoutubeやHTML5video等の埋め込み動画のサイズをwindow幅に合わせて動的にリサイズ/可変にする方法 ｜ HTML5 – CSS3 mag」を参考にして解決したんですが、padding-bottom: 56.25%;ってした場合にどこを基準にして padding を持ってんの？と不思議でした。

仕様書の8.4 パディング特性 (’padding-top’， ’padding-right’， ’padding-bottom’， ’padding-left’及び ’padding’) を見てみると見事に書いてあったんですね。

パーセントは，生成されるボックスの包含ブロックの幅に関して算出される。’padding-top’及び’padding-bottom’についてさえも同様とする。